Model Linier

Dalam statistik , istilah model linier digunakan dalam berbagai cara sesuai dengan konteksnya. Kejadian yang paling umum adalah sehubungan dengan model regresi dan istilah ini sering dianggap sama dengan model regresi linier . Namun, istilah ini juga digunakan dalam analisis deret waktu dengan makna yang berbeda. Dalam setiap kasus, penunjukan "linier" digunakan untuk mengidentifikasi subkelas model yang memungkinkan pengurangan substansial dalam kompleksitas teori statistik terkait.

Model regresi linier

Untuk kasus regresi, model statistik adalah sebagai berikut. Diberikan sampel (acak) $(Y_{i},X_{{i1}},\ldots ,X_{{ip}}),\,i=1,\ldots ,n$ hubungan antara pengamatan Y _i dan variabel bebas X _ij dirumuskan sebagai

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{{i1}})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{{ip}})+\varepsilon _{i}\qquad i=1,\ldots ,n$

dimana $\phi _{1},\ldots ,\phi _{p}$ mungkin fungsi nonlinier. Dalam contoh di atas, jumlah ε _i adalah variabel acak yang mewakili kesalahan dalam hubungan. Bagian "linear" dari penandaan berhubungan dengan penampilan dari koefisien regresi , β _j secara linear dalam hubungan di atas. Atau, dapat dikatakan bahwa nilai prediksi sesuai dengan model di atas, yaitu

${\hat {Y}}_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{{i1}})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{{ip}})\qquad (i=1,\ldots ,n),$

adalah fungsi linear dari β _j.

Mengingat bahwa estimasi dilakukan berdasarkan analisis kuadrat terkecil , estimasi parameter yang tidak diketahui β _j ditentukan dengan meminimalkan fungsi jumlah kuadrat

$S=\sum _{{i=1}}^{n}\left(Y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}\phi _{1}(X_{{i1}})-\cdots -\beta _{p}\phi _{p}(X_{{ip}})\right)^{2}.$

Dari sini, dapat dengan mudah dilihat bahwa aspek "linear" dari model berarti yang berikut :

fungsi yang akan diminimalkan adalah fungsi kuadratik dari β _j yang minimisasi adalah masalah yang relatif sederhana;
turunan dari fungsi adalah fungsi linier dari β _j sehingga mudah untuk menemukan nilai minimalisasi;
nilai minimal β _j adalah fungsi linear dari pengamatan Y _i ;
nilai minimum β _j adalah fungsi linier dari kesalahan acak ε _i yang membuatnya relatif mudah untuk menentukan sifat statistik dari nilai estimasi β _j .

Model deret waktu

Contoh dari model deret waktu linier adalah model rata-rata bergerak autoregresif . Di sini model untuk nilai { _Xt } dalam deret waktu dapat dituliskan dalam formulir

{\ displaystyle X_ {t} = c + \ varepsilon _ {t} + \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ phi _ {i} X_ {ti} + \ sum _ {i = 1} ^ {q } \ theta _ {i} \ varepsilon _ {ti}. \,}

X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{{i=1}}^{p}\phi _{i}X_{{t-i}}+\sum _{{i=1}}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{{t-i}}.\,

di mana lagi kuantitas ε _t adalah variabel acak yang mewakili inovasi yang merupakan efek acak baru yang muncul pada waktu tertentu tetapi juga mempengaruhi nilai-nilai X di waktu kemudian. Dalam hal ini penggunaan istilah "model linier" mengacu pada struktur hubungan di atas dalam mewakili _Xt sebagai fungsi linier dari nilai masa lalu dari seri waktu yang sama dan nilai saat ini dan nilai masa lalu dari inovasi.

Aspek khusus dari struktur ini berarti bahwa relatif mudah untuk mendapatkan hubungan untuk sifat rata-rata dan kovarian dari deret waktu. Perhatikan bahwa di sini bagian "linier" dari istilah "model linier" tidak mengacu pada koefisien φ i dan θ i , seperti dalam kasus model regresi, yang secara struktural mirip.

Penggunaan lain dalam statistik

Ada beberapa contoh lain di mana "model nonlinear" digunakan untuk kontras dengan model terstruktur linier, meskipun istilah "model linier" biasanya tidak diterapkan. Salah satu contohnya adalah reduksi dimensi nonlinier .

Model Linier

0 Response to "Model Linier"

Posting Komentar